Математическое моделирование в школьных исследованиях

Цель: разъяснить обучающимся большую роль математических моделей в научных исследованиях, научить их строить модели.

В общении с миром человек воспринимает окружающие объекты, события, явления, предметы, вещества и формирует о них своё представление.

Эти представления он может изобразить в виде описания, рисунков, математических знаков и т.д. Современный математический аппарат позволяет отобразить в виде уравнений и формул как сами компоненты исследуемого объекта, так и их функции и взаимосвязи. Такое математическое "отображение" называют математической моделью.

Термин "модель" /перевод с латинского modulus/ означает - мера, образец, норма. Использование математических моделей называют моделированием.

Математическое моделирование - это метод исследования процессов, событий, явлений путем построения их математических моделей и исследования этих моделей [24].

Математические модели подразделяются на определённые и неопределенные. Определенными называются такие модели, в которых результат решения задачи полностью задаётся величиной исходных данных.

Неопределённые модели описывают параметры процесса, события, явления и т.д. вероятностными величинами. Результат решения задачи в этом случае также является вероятностным.

С помощью математики можно выразить поведение объекта в сложных условиях, в которых эксперимент провести невозможно. При этом можно "проигрывать" различные ситуации, по результатам которых принимать наиболее выгодные решения.

Математические модели довольно часто используются для решения экономических задач.
Математическая модель экономической задачи - это совокупность уравнений, комплекс математических зависимостей, отражающих показатели и характеристики зависимостей частей рассматриваемого объекта.

Математические модели предоставляют большие возможности исследовать современное состояние объекта и прогнозировать его развитие.

Этапы построения математической модели можно представить в такой последовательности.

1.Постановка цели:
а/ предварительный сбор и анализ информации;
б/ формулировка цели.
2.Построение модели:
а/выбор (определение) исходных данных;
б/составление уравнений /формул/;
в/проведение расчетов по формулам;
г/проверка модели на адекватность рассматриваемому объекту.

Анализ информации состоит из двух этапов. На первом этапе изучают с помощью каких показателей освещается тот аспект, та сторона объекта исследования, в направлении которой планируется изучать объект.

На втором этапе отбираются только наиболее существенные характеристики /показатели/ объекта. Из наиболее существенных характеристик начинается построение математической модели - составление уравнений, вывод формул. При этом важным элементом является выбор средств "имитации' взаимосвязей, показателей объекта исследования.

В настоящее время в экономике для построения математических моделей используют: оптимальное программирование, теорию массового обслуживания, теорию игр и т.д.
В школьных исследованиях целесообразно использовать систему уравнений с двумя неизвестными и простые алгебраические формулы типа сумы, параболы, гиперболы и функции - логарифмической, степенной и показательной.

По построенной модели проводится несколько расчетов. Затем модель проверяют на адекватность - сравнивают полученные расчетным путём данные с соответствующими наблюдаемыми характеристиками объекта.

При этом надо иметь ввиду, что самая хорошая математическая модель отражает только общие закономерности "жизни" исследуемого объекта, и только в определённом аспекте.
Таким образом, чтобы изучить объект, нужно составить несколько моделей.

Процесс математического моделирования состоит из четырёх этапов.

Первый этап - это установление связей между компонентами исследуемого объекта. Например, в модели "Прибыли от продажи газет" в результате простого рассуждения мы обнаруживаем, что прибыль зависит от количества проданных газет и от дохода от продажи одной газеты по следующей формуле:
C< n a / 1 /
Где C - сумма прибыли;
Второй этап работы с математической моделью - проведение расчетов по ней и получение результатов.

Третьим этапом работы с математической моделью является сравнение расчетной прибыли с реальной. Сравнив, видим насколько точна наша модель.

В других случаях результаты расчетов сравниваем с данными наблюдений.

Если модель наблюдаемого процесса даёт расчетные результаты, выходящие за пределы точности измерений, то она не может быть принята. Её необходимо совершенствовать или разрабатывать другую модель.

Четвертый этап работы с математической моделью - это уточнение её параметров с учетом новых данных наблюдения за исследуемым объектом.

Вообще надо помнить, что модель это посредник между исследователем и изучаемым объектом. Она никогда не будет точно соответствовать объекту.

Типичным примером, иллюстрирующим четыре этапа в построении математической модели является модель Солнечной системы.

Еще в древности наблюдатели звёздного неба выделили планеты из всего многообразия небесных тел. Таким образом были выделены объекты для изучения.

Затем началось изучение и описание закономерностей их движения.

В результате появилась модель Птолемея, предполагающая и описывающая движение Солнца и планет вокруг Земли. Формулы этого движения многократно усовершенствовались.
Затем выявленные факты противоречили этой модели. В результате появилась модель Коперника, предполагающая, что планеты вращаются вокруг Солнца. Но параметры этой модели - радиусы окружности и угловые скорости движения планет были определены значительно позднее Кеплером. Это было кинематическое описание Солнечной системы.
Ньютон предложил динамическую модель Солнечной системы.

Однако, Уран двигался не по расчетной орбите. Леверье аналитическим путем предсказал существование новой планеты, хотя её никто не видел.

Инструменты наблюдения совершенствовались, и вот в месте, предсказанным Леверье, был увиден Нептун. Так совершенствовалась модель Солнечной системы.

В КАЧЕСТВЕ ПРИМЕРА СОСТАВИМ МАТЕМАТИЧЕСКУЮ МОДЕЛЬ ПРОДАЖИ ГАЗЕТ В ЭЛЕКТРИЧКЕ.

Продавцу надо принять решение сколько газет нужно заказать, чтобы получить наибольшую прибыль от их продажи.

Он берёт у оптовика некоторое количество газет и продаёт или все или часть возвращает, понеся убыток. Число людей, покупающих газеты, изо дня в день меняется. Анализ продаж, может показать какая доля газет в среднем продаётся. Причинно-следственные связи здесь совершенно ясны. Построим математическую модель. Обозначим величины:
число газет, заказываемых в день у оптовика;
прибыль от каждой проданной газеты;
убыток от каждой возвращенной газеты;
спрос на газеты (сколько реально можно продать);
- вероятность того, что спрос на газеты равен в случайно выбранный день , причем ;
- чистая прибыль в день.
Если получилось с минусом, то это будет сумма убытка.
Если спрос в какой либо день будет больше числа заказанных газет
(), то
(1)
Если же спрос не превышает числа заказанных газет, то прибыль будет равна
(2)
Прибыль, ожидаемую в любой день, можно выразить уравнением:
(3 )

Таким образом, получена модель расчёта прибыли от продажи газет в любой день.
В этой модели:
Qл d- прибыль от продажи газет в любой день;
n - управляемая переменная;
d - неуправляемая переменная;
a и b - постоянные величины.
Задача состоит в том, чтобы найти такое значение n, которое приводит к наибольшей "Q".
Второй этап работы с математической моделью - проведение расчетов по ней.
В случае с прибылью при продаже газет, мы проводим расчеты по формуле/ 3 /. В ней величины "а" и "в" известны. Величины "n" и "d" берём равными средним значениям за неделю.
,
Где - среднее число газет, заказанных в день на прошлой неделе;
- действительное количество газет, ежедневно заказанных на прошлой неделе.
Средний действительный спрос на газеты в день за прошлую неделю будет равен:
.
Средний спрос на газеты планируемый в день за прошлую неделю будет равен:
.
- планируемый спрос на газеты в - ый день прошлой недели.
Значение средней вероятности реализации закупленных на прошлой неделе газет:
,
Например, запланировано:
=100, =105, =110, =115, =95, =97, =96
Действительный спрос по дням недели на газеты составил:
=95, =100, =108, =115, =99, =96, =97.
- вероятность среднего спроса на газеты
=0,98.
n - число газет заказываемых в день у оптовика;
P(d) =0,98.
Подставляя значение величин в формулу (3), получим значение прибыли за предыдущую неделю.
Математические модели применяются для изучения многих явлений, процессов, событий, веществ и т.д. реального мира.
Последнее время математические модели активно применяются в биологии.
Эти модели довольно сложные. Их сложность определяется сложностью изучаемых объектов.
В механике, например, закон всемирного тяготения /его математическая модель/ имеет простую формулу:
.
Это сила тяготения, действующая между двумя телами.
Но, если рассматривать три тела, то математическая модель будет значительно сложнее.
Процессы в биологии значительно сложнее. Поэтому, описывая такие процессы математическими формулами, приходится их огрублять, не учитывать некоторые характеристики.

Примером математической модели в химии является уравнение, устанавливающее взаимосвязь давления и объёма:
.
Примером математической модели в биологии является изменение численности популяции жертвы при наличии хищника. Изменение популяции выражается системой двух дифференциальных уравнений:

Где x - численность популяции;
z - численность хищника;
(, (, (, (, - опытные числовые коэффициенты.

Из первого уравнения видно, что при увеличении численности хищника производная уменьшается.

При некотором значении z производная станет отрицательной, т.е. популяция начнёт уменьшаться. В свою очередь, уменьшение x(t) (популяции жертвы) может привести к уменьшению численности хищника.

Можно сказать, что математические модели формализованно описывают гипотезу, теорию или открытую закономерность какого-либо биологического процесса. Как уже отмечалось в начале, после разработки модели следуют расчеты по ней. Если результаты расчетов отклоняются от наблюдаемых фактов, то модель совершенствуется.

Но "проигрывание" различных вариантов на модели часто позволяют предвидеть характер изменения биологического процесса в условиях, которые экспериментально невозможно воспроизвести.

Математические модели иногда дают возможность предсказать явления, которые вообще исследователь не может предположить. Так математическая модель сердечной деятельности, предложенная голландцем Вандер Полем, указала на возможность особого нарушения сердечного ритма, затем обнаруженного у человека реально.

Существуют математические модели возбуждения нервного волокна, взаимодействия нейронов и т.д.

Растолкуйте выражение: "Воображение важнее знания" (А.Эйнштейн).
Вопросы для закрепления материала.

1.Что такое математическая модель?
2.Какой предмет надо хорошо знать, чтобы строить математические модели?
3.Какие математические модели вам известны?