Кластерный анализ - математическая процедура многомерного анализа, позволяющая на основе множества показателей, характеризующих ряд состояний объектов (образов), сгруппировать их в классы (кластеры) таким образом, чтобы объекты, входящие в один класс (образ), были более однородными, сходными по сравнению с объектами, входящими в другие классы. На основе численно выраженных параметров объектов вычисляются расстояния между ними, которые могут выражаться в евклидовой метрике (наиболее употребимой), так и в других метриках.

Кластерный анализ применяют для идентификации опасных состояний системы в том случае, если нарушения в объекте существенно изменяют зависимости выходных переменных от входных воздействий или областей значений переменных.

Обнаружение и диагностирование нарушений при кластерном анализе производят на основе идентификации некоторого образа - кластера - в пространстве нескольких переменных y₁, y₂,..., y_L, соответствующего определенному состоянию работоспособности h, по данным измерения этих переменных. Примеры трех кластеров в области измеряемых значений y₁ и y₂ для состояний работоспособности h₀, h₁, h₂ показаны на рис. 6.13.1. Границы кластеров определяют на основе обработки экспериментальных данных, полученных в различных и известных состояниях работоспособности.

Выделение кластеров отражает различие параметров или вида оператора j модели объекта при разных состояниях работоспособности, разброс значений y в одном состоянии работоспособности характеризует изменение возмущающих воздействий.

Каждому кластеру соответствует многомерная плотность распределения p(y₁, y₂,..., y_L). Если измеряемые переменные независимы, то функция p(y₁, y₂,..., y_L) равна произведению плотностей распределений p(y_i) переменных y_i, i= :
p(y₁, y₂,..., y_L) = kp(y₁)p(y₂) ... p(y_L),
где k - доля общей совокупности точек, занимаемая данным кластером, kÎ[0; 1].

Рис. 6.13.1. Кластеры в пространстве двух переменных для трех состояний работоспособности

Чтобы охарактеризовать кластер по экспериментальным данным, в простейшем случае оценивают параметры распределения математического ожидания m_i, среднего квадратического отклонения s_i переменной y_i, i= , соответствующие одному состоянию работоспособности, а следовательно, и кластеру, определяют его границу как границу области с назначенной доверительной вероятностью. Если переменные y_i независимы и распределены по нормальному закону, то главные оси кластеров расположены параллельно координатным осям.

Нарушения методами кластерного анализа выявляют следующим образом. В момент времени t_j производят очередное j-е измерение вектора y[j] = (y₁[j],..., y_L[j]). На основе взаимного расположения точки y[j] кластеров в L-мерном пространстве определяют состояние работоспособности h[j] в момент времени t_j. Решение принимают на основе вычисления обобщенного расстояния от проверяемой точки y[j] до центров кластеров. В случае независимости переменных и нормальных распределений обобщенное расстояние r_h до h-го кластера определяют по формуле
r_h = ,                                                          (6.13.1)
где y_i[j] - значение компоненты y_i вектора y[j];

,  - параметры распределения p_h(y₁,..., y_L) кластера, соответствующего состоянию h объекта.

Точка y[j] относится к тому кластеру, для которого расстояние r_h минимально.

Можно также использовать модифицированное обобщенное расстояние r''_h, учитывающее фактор k и определяемое по формуле
 = , ,                              (6.13.2)

где k_h - фактор k для кластера, соответствующего состоянию h.

ПРИМЕР. Объект - химический реактор; контролируются переменные: y₁ - температура, y₂ - концентрация компонента A, y₃ - концентрация компонента B, y₄ – давление; выделены три кластера, соответствующие состояниям: h₀ - нормальное функционирование, h₁ - нарушена подача хладагента, h₂ - не работает мешалка, с параметрами =195, =10, =80, =5, =10, =2, =5, =0,5; =250, =20, =70, =5, =15, =3, =4,8, =0,5; =190, =15, =60, =7,5, =22, =5, =4,7, =0,6 (где s_i, m_i - среднее квадратическое отклонение и математическое ожидание i-й переменной для n-го кластера).

При очередном j-м измерении вектора y получены:
y[j] = (y₁[j]=220, y₂[j]=75, y₃[j]=12, y₄[j]=4,9),
обобщенные расстояния r_h, вычисленные согласно (6.12.1), которые равны: r_h0=2,88, r_h1=2,06, r_h=3,48. Расстояние r_h1 минимально, поэтому y[j] соответствует состоянию h₁.

В ряде случаев пространство значений вектора y содержит определенный кластер. В зависимости от того, какому сектору принадлежит точка y[j], делают вывод о принадлежности ее к соответствующему кластеру, а следовательно, о том, какое состояние работоспособности и нарушение имеет место в рассматриваемый период времени.

Классификационные (разделяющие) линии или функции, которые делят область наблюдаемых значений y на части, соответствующие различным состояниям работоспособности, определяют методами дискриминационного анализа и распознавания образов, например методами случайных плоскостей, потенциальных функций, которые реализуются на ЭВМ.

ПРИМЕР. Имеются два информативных признака: y₁, y₂, по значениям которых определяют состояние или образ объекта. Возможны два состояния работоспособности: h₀ и h₁. Линия L делит область значений y=(y₁, y₂) на две части: Y₀ и Y₁; если yÎY₀, то имеет место состояние h₀, если yÎY₁, то - h₁. В общем случае L - разделяющая плоскость.

Алгоритм построения линии L методом случайной плоскости содержит два этапа и заключается в следующем. На первом этапе проводится серия частных разделяющих линий L_i, i=1,2,... . Для этого берут два первых значения y, принадлежащие разным образам, например y[1]ÎY₀ и y[2]ÎY₁, и проводят произвольную линию L₁, разделяющие точки y[1] и y[2] (рис. 6.13.2,а). Берут следующее значение y[3], для определенности пусть y[3]ÎY₁. Если y[3] и y[2] лежат в одной полуплоскости относительно L₁, то новой линии не проводят; если же y[3] находится в одной полуплоскости с y[1]ÎY₀, то проводят линию L₂, отделяющую y[3] от y[1] (рис. 6.13.2,б). Далее рассматривают значение y[4]. При y[4]ÎY₀ проводят линию L₃, отделяющую y[4] от y[2]ÎY₁ (рис. 6.13.2,в), и т.д. Первый этап заканчивается, когда будут введены все значения y[j], предназначенные для построения разделяющей линии. На втором этапе стирают те участки частных линий L_i, по обе стороны которых имеются одноименные точки, оставшиеся участки образуют разделяющую линию L (рис. 6.13.2,г).

В случаях, когда нельзя указать резкие границы, отделяющие области значений y, соответствующие различным состояниям работоспособности, используют математический аппарат нечетких множеств. В нечетком множестве его элементы имеют различную степень принадлежности к данному множеству. Это объясняется невозможностью полного и четкого описания различных ситуаций, неточностью измерения входных и выходных переменных объекта и т.д.

Нечеткое множество A элементов некоторого множества Y определяют как совокупность упорядоченных пар (кортежей), составленных из элементов yÎY и степеней принадлежности m_А(y)Î[0; 1], т.е. A={<y, m_А(y)>, yÎY, m_А(y)Î[0; 1]} (где Y - область определения принадлежности m_А).

Рис. 6.13.2. Схемы построения разделяющей линии методом случайных плоскостей:
а - два измерения; б - три измерения; в - четыре измерения; г - разделяющая линия L:
о - измерения y[j]ÎY₀; х - измерения y[i]ÎY₁

Чем выше значение m_А(y), тем больше элемент y соответствует множеству А.

Например, y - температура в работающем химическом реакторе, yÎY={y₁, y₂, y₃, y₄, y₅}, y_i<y_i+1; А - нечеткое множество значений температур, соответствующих аварийной ситуации, равное

А = {(y₁; 0), (y₂; 0), (y₃; 0,3), (y₄; 0,9), (y₅; 1)}.

Данное множество означает, что температуры y₁, y₂ не соответствуют аварийной ситуации, y₃ - мало соответствует, y₄ - вполне соответствует, а при температуре y₅ аварийная ситуация не вызывает сомнения.