(t) = [N₀-n(t)] / N₀ ,                                                                  (4.2.2)

Вероятностью отказа называется вероятность того, что при определенных условиях эксплуатации в заданном интервале времени возникает хотя бы один отказ. Отказ и безотказная работа являются событиями несовместными и противоположными, поэтому
Q(t)=P(T£t), (t)=n(t)/N₀, Q(t)=1-P(t).                                              (4.2.3)

Частотой отказов по статистическим данным называется отношение числа отказавших элементов в единицу времени к первоначальному числу работающих (испытываемых) при условии, что все вышедшие из строя изделия не восстанавливаются.

Согласно определению

(t) = n(Dt) / N₀Dt,                                                                      (4.2.4)
где n(Dt) - число отказавших элементов в интервале времени от (t‑Dt)/2 до (t+Dt)/2.

Частота отказов есть плотность вероятности (или закон распределения) времени работы изделия до первого отказа. Поэтому

P(t) = 1 - Q(t),        P(t) = 1 - .                                        (4.2.5)

Интенсивностью отказов по статистическим данным называется отношение числа отказавших изделий в единицу времени к среднему числу изделий, исправно работающих в данный отрезок времени.

Согласно определению

(t) = n(Dt) / (N_срDt),                                                                 (4.2.6)
где N_ср = (N_i + N_i+1) / 2 - среднее число исправно работающих элементов в интервале Dt; N_i - число изделий, исправно работающих в начале интервала Dt; N_i+1 - число элементов исправно работающих в конце интервала Dt.

Вероятностная оценка характеристики l(t) находится из выражения
l(t) = f(t) / P(t).                                                                           (4.2.7)

Интенсивность отказов и вероятность безотказной работы связаны между собой зависимостью

P(t) = еxp .                                                                (4.2.8)

Средней наработкой до первого отказа называется математическое ожидание времени работы элемента до отказа.

Как математическое ожидание, T_ср вычисляется через частоту отказов (плотность распределения времени безотказной работы):

M[t] = T_cр = .                                                                 (4.2.9)

Так как t положительно и P(0)=1, а P(¥)=0, то
T_cр = .                                                                            4.2.10)

По статистическим данным об отказах средняя наработка до первого отказа вычисляется по формуле

.                                                                   (4.2.11)

где t_i - время безотказной работы i-го элемента; N₀ - число исследуемых элементов.

Как видно из формулы (4.2.11), для определения средней наработки до первого отказа необходимо знать моменты выхода из строя всех испытуемых элементов. Поэтому для вычисления средней наработки на отказ  пользоваться указанной формулой неудобно. Имея данные о количестве вышедших из строя элементов n_i в каждом i-м интервале времени, среднюю наработку до первого отказа лучше определять из уравнения

.                                                             (4.2.12)

В выражении (4.2.12) t_срi и m находятся по следующим формулам:
t_срi = (t_i-1 + t_i)/2, m = t_k / Dt,
где t_i-1 - время начала i-го интервала; t_i - время конца i-го интервала; t_k - время, в течение которого вышли из строя все элементы; Dt = t_i‑1 ‑ t_i - интервал времени.

Из выражений для оценки количественных характеристик надежности видно, что все характеристики, кроме средней наработки до первого отказа, являются функциями времени. Конкретные выражения для практической оценки количественных характеристик надежности устройств рассмотрены в разделе "Законы распределения отказов".

Рассмотренные критерии надежности позволяют достаточно полно оценить надежность невосстанавливаемых изделий. Они также позволяют оценить надежность восстанавливаемых изделий до первого отказа. Наличие нескольких критериев вовсе не означает, что всегда нужно оценивать надежность элементов по всем критериям.

Наиболее полно надежность изделий характеризуется частотой отказов f(t) или a(t). Это объясняется тем, что частота отказов является плотностью распределения, а поэтому несет в себе всю информацию о случайном явлении - времени безотказной работы.

Средняя наработка до первого отказа является достаточно наглядной характеристикой надежности. Однако применение этого критерия для оценки надежности сложной системы ограничено в тех случаях, когда:

- время работы системы гораздо меньше среднего времени безотказной работы;
- закон распределения времени безотказной работы не однопараметрический и для достаточно полной оценки требуются моменты высших порядков;
- система резервированная;
- интенсивность отказов не постоянная;
- время работы отдельных частей сложной системы разное.

Интенсивность отказов - наиболее удобная характеристика надежности простейших элементов, так как она позволяет более просто вычислять количественные характеристики надежности сложной системы.

Наиболее целесообразным критерием надежности сложной системы является вероятность безотказной работы. Это объясняется следующими особенностями вероятности безотказной работы:
- она входит в качестве сомножителя в другие, более общие характеристики системы, например, в эффективность и стоимость;
- характеризует изменение надежности во времени;
- может быть получена сравнительно просто расчетным путем в процессе проектирования системы и оценена в процессе ее испытания.

Критерии надежности восстанавливаемых объектов

Рассмотрим следующую модель работы.

Пусть в работе находится N элементов и пусть отказавшие элементы немедленно заменяются исправными (новыми или отремонтированными). Если не учитывать времени, потребного на восстановление системы, то количественными характеристиками надежности могут быть параметр потока отказов w(t) и наработка на отказ t_ср.

Параметром потока отказов называется отношение числа отказавших изделий в единицу времени к числу испытываемых при условии, что все вышедшие из строя изделия заменяются исправными (новыми или отремонтированными).

Статистическим определением служит выражение
(t) = n(Dt) / NDt,                                                                     (4.2.13)
где n(Dt) - число отказавших образцов в интервале времени от t‑Dt/2 до t+Dt/2; N - число испытываемых элементов; Dt - интервал времени.

Параметр потока отказов и частота отказов для ординарных потоков с ограниченным последействием связаны интегральным уравнением Вольтера второго рода
w(t) = f(t)+ .                                                     (4.2.14)

По известной f(t) можно найти все количественные характеристики надежности невосстанавливаемых изделий. Поэтому (2.14) является основным уравнением, связывающим количественные характеристики надежности невосстанавливаемых и восстанавливаемых элементов при мгновенном восстановлении.

Уравнение (4.2.14) можно записать в операторной форме:
,             .                                    (4.2.15)
Соотношения (4.2.15) позволяют найти одну характеристику через другую, если существуют преобразования Лапласа функций f(s) и w(s) и обратные преобразования выражений (4.2.15).

Параметр потока отказов обладает следующими важными свойствами:
1) для любого момента времени независимо от закона распределения времени безотказной работы параметр потока отказов больше, чем частота отказов, т.е. w(t)>f(t);
2) независимо от вида функций f(t) параметр потока отказов w(t) при t®¥ стремится к 1/T_ср. Это важное свойство параметра потока отказов означает, что при длительной эксплуатации ремонтируемого изделия поток его отказов независимо от закона распределения времени безотказной работы становится стационарным. Однако это вовсе не означает, что интенсивность отказов есть величина постоянная;
3) если l(t) - возрастающая функция времени, то l(t)>w(t)>f(t), если l(t) - убывающая функция, то w(t)>l(t)>f(t);
4) при l(t)¹const параметр потока отказов системы не равен сумме параметров потока отказов элементов, т.е.
w_с(t) .                                                                        (4.2.16)

Это свойство параметра потока отказов позволяет утверждать, что при вычислении количественных характеристик надежности сложной системы нельзя суммировать имеющиеся в настоящее время значения интенсивности отказов элементов, полученных по статистическим данным об отказах изделий в условиях эксплуатации, так как указанные величины являются фактически параметрами потока отказов;

5) при l(t)=l=const параметр потока отказов равен интенсивности отказов w(t)=l(t)=l.

Из рассмотрения свойств интенсивности и параметра потока отказов видно, что эти характеристики различны.

В настоящее время широко используются статистические данные об отказах, полученные в условиях эксплуатации оборудования. При этом они часто обрабатываются таким образом, что приводимые характеристики надежности являются не интенсивностью отказов, а параметром потока отказов w(t). Это вносит ошибки при расчетах надежности. В ряде случаев они могут быть значительными.

Для получения интенсивности отказов элементов из статистических данных об отказах ремонтируемых систем необходимо воспользоваться формулой (4.2.6), для чего необходимо знать предысторию каждого элемента технологической схемы. Это может существенно усложнить методику сбора статистических данных об отказах. Поэтому целесообразно определять l(t) по параметру потока отказов w(t). Методика расчета сводится к следующим вычислительным операциям:
- по статистическим данным об отказах элементов ремонтируемых изделий и по формуле (4.2.13) вычисляется параметр потока отказов и строится гистограмма w_i(t);
- гистограмма заменяется кривой, которая аппроксимируется уравнением;
- находится преобразование Лапласа w_i(s) функции w_i(t);
- по известной w_i(s) на основании (4.2.15) записывается преобразование Лапласа f_i(s) частоты отказов;
- по известной f_i(s) находится обратное преобразование частоты отказов f_i(t);
- находится аналитическое выражение для интенсивности отказов по формуле
;                                                     (4.2.17)
- строится график l_i(t).

Если имеется участок, где l_i(t)=l_i=const, то постоянное значение интенсивности отказов принимается для оценки вероятности безотказной работы. При этом считается справедливым экспоненциальный закон надежности.

Приведенная методика не может быть применена, если не удается найти по f(s) обратное преобразование частоты отказов f(t). В этом случае приходится применять приближенные методы решения интегрального уравнения (4.2.14).

Наработкой на отказ называется среднее значение времени между соседними отказами.
Эта характеристика определяется по статистическим данным об отказах по формуле ,                                                                       (4.2.18)
где t_i - время исправной работы элемента между (i-1)-м и i-м отказами; n - число отказов за некоторое время t.

Из формулы (4.2.18) видно, что в данном случае наработка на отказ определяется по данным испытания одного образца изделия. Если на испытании находится N образцов в течение времени t, то наработка на отказ вычисляется по формуле
,                                                           (4.2.19)
где t_ij - время исправной работы j-го образца изделия между (i-1)-м и i-м отказом; n_j - число отказов за время t j-го образца.

Наработка на отказ является достаточно наглядной характеристикой надежности, поэтому она получила широкое распространение на практике.

Параметр потока отказов и наработка на отказ характеризуют надежность восстанавливаемого изделия и не учитывают времени, необходимого на его восстановление. Поэтому они не характеризуют готовности устройства к выполнению своих функций в нужное время. Для этой цели вводятся такие критерии, как коэффициент готовности и коэффициент вынужденного простоя.

Коэффициентом готовности называется отношение времени исправной работы к сумме времен исправной работы и вынужденных простоев устройства, взятых за один и тот же календарный срок. Эта характеристика по статистическим данным определяется
 = t_р /(t_р + t_п),                     (4.2.20)
где t_р - суммарное время исправной работы изделия; t_п - суммарное время вынужденного простоя.

Времена t_р и t_п вычисляются по формулам
;            ,                                               (4.2.21)
где t_рi - время работы изделия между (i-1)-м и i-м отказом; t_пi - время вынужденного простоя после i-го отказа; n - число отказов (ремонтов) изделия.

Для перехода к вероятностной трактовке величины t_р и t_п заменяются математическими ожиданиями времени между соседними отказами и времени восстановления соответственно. Тогда 
K_г = t_ср / (t_ср + t_в),                                                                      (4.2.22)
где t_ср - наработка на отказ; t_в - среднее время восстановления.

Коэффициентом вынужденного простоя называется отношение времени вынужденного простоя к сумме времен исправной работы и вынужденных простоев изделия, взятых за один и тот же календарный срок.

Согласно определению
 = t_р /(t_р + t_п)                                                                        (4.2.23)
или, переходя к средним величинам,
K_п = t_в / (t_ср + t_в).                                                                       (4.2.24)
Коэффициент готовности и коэффициент вынужденного простоя связаны между собой зависимостью
K_п = 1 - K_г .                                                                               (4.2.25)
При анализе надежности восстанавливаемых систем обычно коэффициент готовности вычисляют по формуле
K_г = T_ср / (T_ср + t_в).                                                                   (4.2.26)
Формула (4.2.26) верна только в том случае, если поток отказов простейший, и тогда t_ср = T_ср.

Часто коэффициент готовности, вычисленный по формуле (4.2.26), отождествляют с вероятностью того, что в любой момент времени восстанавливаемая система исправна. На самом деле указанные характеристики неравноценны и могут быть отождествлены при определенных допущениях.

Действительно, вероятность возникновения отказа ремонтируемой системы в начале эксплуатации мала. С ростом времени t эта вероятность возрастает. Это означает, что вероятность застать систему в исправном состоянии в начале эксплуатации будет выше, чем после истечения некоторого времени. Между тем на основании формулы (4.2.26) коэффициент готовности не зависит от времени работы.

Для выяснения физического смысла коэффициента готовности K_г запишем формулу для вероятности застать систему в исправном состоянии. При этом рассмотрим наиболее простой случай, когда интенсивность отказов l и интенсивность восстановления m есть величины постоянные.

Предполагая, что при t=0 система находится в исправном состоянии (P(0)=1), вероятность застать систему в исправном состоянии определяется из выражений
;
                                                                                                  (4.2.27)
,
где l = 1 / T_ср; m =1 / t_в; K_г = Т_ср / (Т_ср+ t_в).

Это выражение устанавливает зависимость между коэффициентом готовности системы и вероятностью застать ее в исправном состоянии в любой момент времени t.

Из (4.2.27) видно, что P_г(t)®K_г при t®¥, т.е. практически коэффициент готовности имеет смысл вероятности застать изделие в исправном состоянии при установившемся процессе эксплуатации.

В некоторых случаях критериями надежности восстанавливаемых систем могут быть критерии невосстанавливаемых систем, например: вероятность безотказной работы, частота отказов, средняя наработка до первого отказа, интенсивность отказов. Такая необходимость возникает:
- когда имеет смысл оценивать надежность восстанавливаемой системы до первого отказа;
- в случае, когда применяется резервирование с восстановлением отказавших резервных устройств в процессе работы системы, причем отказ всей резервированной системы не допускается.